Nesta seção, vou descrever e isolar exatamente os elementos necessários para replicar a prova do Princípio de Explosão apresentada pelo Victorelli.

Vamos considerar uma linguagem \(L\) com um conectivo binário \(\vee\) (disjunção) e um conectivo unário \(\neg\) (negação).

Também iremos considerar uma relação de consequência \(\vdash\) que satisfaz as seguintes propriedades (para \(\Gamma, \Delta \subseteq L\) e \(\alpha, \beta \in L\)):

• (Reflexividade - Refl) se \(\alpha \in \Gamma\), então \(\Gamma \vdash \alpha\);
• (Monotonicidade - Mon) se \(\Gamma \vdash \alpha\) e \(\Gamma \subseteq \Delta\), então \(\Delta \vdash \alpha\);
• (Transitividade - Trans) se \(\Delta \vdash \alpha\) e, para todo \(\delta \in \Delta\), \(\Gamma \vdash \delta\), então \(\Gamma \vdash \alpha\);
• (Introdução do \(\vee\) - I\(\vee\)) \(\alpha \vdash \alpha \vee \beta\);
• (Silogismo Disjuntivo - SD) \(\alpha \vee \beta, \neg \alpha \vdash \beta\).

Com o sistema lógico \((L, \vdash)\), podemos enunciar e provar o Princípio de Explosão:

Proposição (Princípio de Explosão). Sejam \(\alpha, \beta \in L\). Então, \(\alpha, \neg \alpha \vdash \beta\).

Prova. Aplicamos as regras da consequência \(\vdash\) para obter a conclusão desejada:

\begin{prooftree} \def\labelSpacing{10cm} \AxiomC{} \LeftLabel{I$\vee$} \UnaryInfC{$\alpha \vdash \alpha \vee \beta$} \LeftLabel{Mon} \UnaryInfC{$\alpha, \neg \alpha \vdash \alpha \vee \beta$} \AxiomC{} \LeftLabel{Refl} \UnaryInfC{$\alpha, \neg \alpha \vdash \neg \alpha$} \AxiomC{} \LeftLabel{SD} \UnaryInfC{$\alpha \vee \beta, \neg \alpha \vdash \beta$} \LeftLabel{Trans} \TrinaryInfC{$\alpha, \neg \alpha \vdash \beta$} \end{prooftree}

\(\blacksquare\)

Em seu vídeo, Victorelli afirma que, em uma verdadeira inferência, sua conclusão está contida em suas premissas. Em seu exemplo, ele ilustra essa relação utilizando diagramas de Euler, interpretando um silogismo categórico através de conjuntos.

Mas afinal, o que realmente significa essa relação de inclusão entre conclusão e premissas? Para quem estuda Lógica Moderna, a resposta é clara: é a relação de consequência semântica, que caracteriza a consequência lógica através do conteúdo das sentenças. Vamos entender essa relação com mais detalhes.

Um modelo pode ser visto, intuitivamente, como um mundo possível. Nesse sentido, quando uma sentença \(\alpha\) é verdadeira em um modelo \(\mathcal{M}\), dizemos que \(\mathcal{M}\) satisfaz \(\alpha\), ou que \(\mathcal{M}\) é um modelo de \(\alpha\), e denotamos esta relação por \(\mathcal{M} \models \alpha\). Podemos estender essa relação para um conjunto de sentenças \(\Gamma\): dizemos que \(\mathcal{M}\) satisfaz \(\Gamma\) quando \(\mathcal{M}\) satisfaz todas as sentenças em \(\Gamma\).

A consequência semântica é descrita através da relação de satisfatibilidade: uma sentença \(\alpha\) é consequência semântica de um conjunto de sentenças \(\Gamma\) quando todo modelo de \(\Gamma\) é também um modelo de \(\alpha\). Representamos esta relação por \(\Gamma \models \alpha\).

Victorelli evita analisar as inferências utilizadas na demonstração do princípio desse ponto de vista, por algum motivo. Também não analisa de fato o argumento descrito pelo Princípio de Explosão. Diz simplesmente que de forma alguma a conclusão \(\beta\) está contida nas premissas \(\alpha\) e \(\neg \alpha\). Se é tão óbvio, por que não apresentar a justificativa? Então vou fazer o trabalho que ele não fez aqui.

Vamos assumir que o Princípio da Não Contradição é válido em todos os mundos possíveis. Desse modo, dado um mundo possível \(\mathcal{M}\) e uma sentença \(\alpha\), é impossível que \(\alpha\) e sua negação sejam simultaneamente verdadeiras em \(\mathcal{M}\). Ou seja, \(\mathcal{M} \not\models \{\alpha, \neg \alpha\}\). Em geral, se \(\Gamma\) é um conjunto de sentenças que contém duas sentenças contraditórias, então \(\mathcal{M} \not\models \Gamma\).

Então, se pensamos na consequência semântica \(\alpha, \neg \alpha \models \beta\), isso é o mesmo que dizer que:

(1) todo modelo de \(\{\alpha, \neg \alpha\}\) é também um modelo de \(\beta\).

Mas, como vimos anteriormente, \(\{\alpha, \neg \alpha\}\) não tem modelos! Então, como pode a afirmação (1) ser verdadeira? Na interpretação usual em Matemática de sentenças universais, dizemos que (1) é verdadeira por vacuidade. Mas, na interpretação da Lógica Tradicional, uma sentença universal não pode ter sujeito vazio, então essa afirmação nem faria sentido.

Poderíamos, ingenuamente, pensar que essa crítica do Victorelli é válida, e que a interpretação matemática de (1) é equivocada. Nesse caso em particular, existe uma excelente razão para considerarmos que (1) é verdadeira quando seu sujeito é vazio: sua correspondência com a consequência sintática.

A consequência sintática é definida através do conceito de demonstração. Sabe aqueles argumentos descritos em sequência, que são construídos pelo encadeamento de argumentos menores? O próprio Victorelli costuma descrever argumentos dessa forma (exemplo). A formalização dessa ideia é o conceito de demonstração, formalizado a partir de um sistema dedutivo.

Um sistema dedutivo é formado por um conjunto de axiomas e um conjunto de regras de inferência. Uma demonstração nesse sistema a partir de um conjunto de sentenças \(\Gamma\) é uma sequência de sentenças \((\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\) em que cada sentença \(\alpha_i\) satisfaz uma das seguintes propriedades:

• \(\alpha_i\) é um axioma;
• \(\alpha_i \in \Gamma\);
• \(\alpha_i\) é uma consequência de sentenças anteriores a partir de alguma das regras de inferência.

Quando existe uma demonstração de \(\alpha\) a partir de \(\Gamma\), dizemos que \(\alpha\) é consequência sintática de \(\Gamma\). Denotamos essa relação por \(\Gamma \vdash \alpha\).

Os axiomas do sistema seriam verdades lógicas básicas, que podemos utilizar livremente na demonstração de argumentos. As regras de inferência representam os argumentos básicos que sabemos ser válidos e utilizamos para demonstrar a validade de novos argumentos.

Um resultado da Lógica Sentencial Clássica (e de vários outros sistemas lógicos), é o seguinte:

Teorema. Sejam \(\Gamma\) um conjunto de sentenças e \(\alpha\) uma sentença. Então, \(\Gamma \vdash \alpha\) se, e somente se, \(\Gamma \models \alpha\).

Ou seja, para conseguirmos recuperar, através da semântica, uma noção de consequência equivalente àquela definida a partir de demonstrações, precisamos considerar a interpretação dos matemáticos de sentença universal, em que sentenças universais com o sujeito vazio são verdadeiras.

Talvez a ideia de verdade por vacuidade não seja tão intuitiva assim, mas a ideia de demonstração é bem clara, e o próprio Victorelli a usa, informalmente.

Então, fica o questionamento: quais das 5 propriedades da consequência lógica que descrevi a Lógica Tradicional rejeita? Se a ideia de demonstração é válida em Lógica Tradicional, as regras estruturais também são válidas. Nesse caso, qual dos argumentos é inválido na Lógica Tradicional: a Introdução do \(\vee\) ou o Silogismo Disjuntivo?

Em seu vídeo, Victorelli afirma que a premissa \(\alpha \vee \beta\) não é usada, não é relevante, na prova do Princípio de Explosão. Só que esta afirmação é evidentemente falsa: em seu próprio vídeo, ele aplica a regra do silogismo disjuntivo para obter a conclusão \(\beta\) a partir das premissas \(\alpha \vee \beta\) e \(\neg \alpha\).

A crítica à relevância de \(\alpha \vee \beta\) é mais relevante (😅). Não significa que essa sentença não é usada, mas sim que o argumento utilizado para prová-la pode não estabelecer uma relação de relevância entre a premissa e a conclusão. Mas esse problema ocorre na Introdução do \(\vee\)? Ou no Silogismo Disjuntivo? Ou o problema está em alguma das regras estruturais?

Quem só estuda Lógica Tradicional não tem as ferramentas necessárias para responder essas perguntas.

Em seu vídeo, Victorelli afirma que o Princípio de Explosão pode ser enquadrado como uma falácia da causa falsa. E ele fala isso com uma prova desse princípio na tela que claramente usa todas as informações contidas na premissa (a saber, \(\alpha\) e \(\neg \alpha\)).

Isso evidencia um problema claro: em todo o vídeo, ele evitou atacar diretamente a demonstração formal do Princípio de Explosão. Mas, se esse princípio não é verdadeiro, deve haver algum erro nessa demonstração. Ou até mesmo algum erro na própria ideia de demonstração.

Como explicitei em minha demonstração, ela depende essencialmente de 5 propriedades da consequência lógica assumidas na Lógica Clássica. Quais dessas propriedades estão erradas?

Infelizmente, quem estuda apenas Lógica Tradicional não aprende as ferramentas necessárias para fazer uma análise tão detalhada assim, e deixar explícito o problema. A única saída é fazer críticas superficiais, apelando para a intuição, sem de fato provar (ou refutar) nada.

A definição de lógica paraconsistente está ligada diretamente ao Princípio de Explosão: um sistema lógico é dito paraconsistente quando ele não satisfaz esse princípio. Equivalentemente, um sistema lógico é paraconsistente quando existem teorias inconsistentes não triviais.

Lógicas de relevância são exemplos de lógicas paraconsistentes. E como o Victorelli insiste que a Lógica Tradicional rejeita o Princípio de Explosão, ela também seria um exemplo de lógica paraconsistente (🙃).

Em resumo, a Lógica Tradicional não é suficiente para analisar questões lógicas de maneira precisa. Por conta disso, as análises do Victorelli são sempre superficiais, e nunca atacam diretamente o problema que ele apresenta. Isso fica claro nesse vídeo, em que ele ignora completamente a demonstração do Princípio de Explosão que ele mesmo apresenta, e nem se propõe a explicar o porquê dela estar errada.

As críticas do Victorelli à Lógica Moderna parecem se basear na ideia simplista de que "tudo que é moderno é ruim", ao invés de atacarem de forma fundamental os desenvolvimentos mais recentes da Lógica. Por isso, recomendo: não percam tempo estudando "Lógica Tradicional", estudem Lógica!