Considere um conjunto \(A\) não vazio. O conjunto dos pares ordenados formados por elementos de \(A\) é dado por: \[A \times A = \{(a_0, a_1) : a_0, a_1 \in A\}.\]

Existem várias formas de se definir pares ordenados em Matemática. Uma das mais comuns, que pode ser generalizada facilmente para sequências finitas ou infinitas, é definir par ordenado como uma função. Assim, dados \(a_0, a_1 \in A\), o par ordenado \((a_0, a_1)\) pode ser visto como a função \(a: \{0, 1\} \to A\), que leva o elemento \(0\) em \(a_0\) e o elemento \(1\) em \(a_1\).

Considere agora as funções de projeção \(\pi_0, \pi_1: A \times A \to A\), definidas da seguinte forma, para \((a_0, a_1) \in A \times A\): \[\pi_0(a_0, a_1) = a_0;\] \[\pi_1(a_0, a_1) = a_1.\]

Interpretando \(a = (a_0, a_1)\) como uma função, as projeções são simplemente as aplicações da função a um dos valores, \(0\) ou \(1\), ou seja: \[\pi_0(a) = a(0);\] \[\pi_1(a) = a(1).\]

Em geral, podemos pensar em funções como "sequências generalizadas", indexadas pelos elementos do seu domínio. Por essa interpretação, as projeções são simplesmente as aplicações da função a um elemento do domínio.

Assim, sejam \(X\) e \(Y\) conjuntos.

Definição 1. Definimos o seguinte conjunto: \[\mathcal{F}(X, Y) = \{f : f \text{ é uma função de } X \text{ em } Y\}.\]

Outras notações comuns para esse conjunto são \(Y^X\) e \(\prod\limits_{x \in X} Y\).

Definição 2. Seja \(x \in X\). A \(x\)-ésima projeção de \(\mathcal{F}(X,Y)\) é a função \({{}\cdot{}}(x): \mathcal{F}(X,Y) \to Y\) que associa a cada elemento \(f \in \mathcal{F}(X,Y)\) o valor \(f(x) \in B\).

Também denotamos a função \({{}\cdot{}}(x)\) por \(\pi_x\).

Lema 3. Seja \(x \in X\) e \(B \subseteq Y\). Vale a seguinte propriedade: \[\pi_x^{-1}(B) = \{f \in \mathcal{F}(X,Y): x \in f^{-1}(B)\}.\]

Prova. Seja \(f: X \to Y\) uma função. Temos que: \[\begin{aligned} f \in \pi_x^{-1}(B) & \Leftrightarrow \pi_x(f) \in B \\ & \Leftrightarrow f(x) \in B \\ & \Leftrightarrow x \in f^{-1}(B) \end{aligned}\]

Logo, \(\pi_x^{-1}(B) = \{f \in \mathcal{F}(X,Y) : x \in f^{-1}(B)\}\). \(\blacksquare\)

Sejam \(X\) um conjunto não vazio e \(Y\) um espaço topológico.

Definição 4. Definimos os seguintes conjuntos:

• para cada \(x \in X\), \(\mathcal{S}_x = \{\pi_x^{-1}(V) : V \in \mathcal{O}(Y)\}\);
• \(\mathcal{S} = \bigcup\limits_{x \in X} \mathcal{S}_x\).

Lema 5. O conjunto \(\mathcal{S}\) é uma sub-base para uma topologia em \(\mathcal{F}(X,Y)\).

Prova. Seja \(f: X \to Y\) uma função. Como \(X\) é não vazio, sabemos que existe pelo menos um \(x \in X\). Pelo Lema 3, temos que: \[\begin{aligned} f(x) \in Y & \Leftrightarrow x \in f^{-1}(Y) \\ & \Leftrightarrow f \in \pi_x^{-1}(Y) \end{aligned}\]

Logo, \(f \in \pi_x^{-1}(Y)\), e como \(Y\) é aberto em \(Y\), \(\pi_x^{-1}(Y) \in \mathcal{S}_x \subseteq \mathcal{S}\). Portanto, \(\mathcal{S}\) é uma sub-base para uma topologia em \(\mathcal{F}(X,Y)\). \(\blacksquare\)

Definição 6. A topologia gerada pela sub-base \(\mathcal{S}\) é chamada de topologia produto. Equipado com essa topologia, dizemos que \(\mathcal{F}(X,Y)\) é um espaço produto.

Até o final dessa seção, vamos assumir que \(\mathcal{F}(X,Y)\) é um espaço produto.

Lema 7. Para todo \(x \in X\), \(\pi_x\) é uma função contínua.

Prova. Seja \(x \in X\) e considere \(V\) um aberto de \(Y\). Por definição, sabemos que \(\pi_x^{-1}(V) \in \mathcal{S}_x \subseteq \mathcal{S}\). Em particular, \(\pi_x^{-1}(V)\) é aberto em \(\mathcal{F}(X,Y)\). Logo, \(\pi_x\) é uma função contínua. \(\blacksquare\)

Teorema 8 (Propriedade Universal do Espaço Produto). Sejam \(Z\) um espaço topológico e \((F_x : x \in X)\) uma família indexada de funções contínuas de \(Z\) em \(Y\). Existe uma única função contínua \(F: Z \to \mathcal{F}(X,Y)\) tal que, para todo \(x \in X\), \(\pi_x \circ F = F_x\).

Prova. Seja \(F: Z \to \mathcal{F}(X,Y)\) a função que associa a cada \(z \in Z\) a função \(F(z): X \to Y\) definida da seguinte forma, para \(x \in X\): \[F(z)(x) = F_x(z).\]

Inicialmente, note que, para \(x \in X\) e \(z \in Z\): \[(\pi_x \circ F)(z) = F(z)(x) = F_x(z).\]

Daí, \(\pi_x \circ F = F_x\) para todo \(x \in X\). Agora, vamos verificar que \(F\) é contínua. Para isso, considere \(S \in \mathcal{S}\). Sabemos que existem \(x \in X\) e \(V\) aberto em \(Y\) tais que \(S = \pi_x^{-1}(V)\). Desse modo, temos que: \[F^{-1}(S) = F^{-1}(\pi_x^{-1}(V)) = (\pi_x \circ F)^{-1}(V) = F_x^{-1}(V).\]

Daí, como \(F_x\) é contínua e \(V\) é aberto em \(Y\), segue que \(F_x^{-1}(V) = F^{-1}(S)\) é aberto em \(Z\). Logo, \(F\) é uma função contínua.

Para finalizar, vamos verificar a unicidade de \(F\). Seja \(G: Z \to \mathcal{F}(X,Y)\) uma função contínua tal que, para todo \(x \in X\), \(\pi_x \circ G = F_x\) e considere \(z \in Z\). Para \(x \in X\), temos que: \[G(z)(x) = (\pi_x \circ G)(z) = F_x(z) = F(z)(x).\]

Logo, \(G(z) = F(z)\), e concluímos que \(G = F\), o que encerra a prova do teorema. \(\blacksquare\)

O espaço \(\mathcal{F}(X,Y)\) herda várias propriedades topológicas de \(Y\). Citamos algumas delas no resultado seguinte.

Lema 9. Valem as seguintes propriedades:

1. se \(Y\) é um espaço de Hausdorff, então \(\mathcal{F}(X,Y)\) também é um espaço de Hausdorff;
2. se \(Y\) é conexo, então \(\mathcal{F}(X,Y)\) também é conexo;
3. (Teorema de Tychonoff) se \(Y\) é compacto, então \(\mathcal{F}(X,Y)\) também é compacto.

Prova. Veja a referência [1].

Sejam \(X\) um conjunto não vazio e \(Y\) um espaço topológico. Nesta seção, vamos assumir que \(\mathcal{F}(X,Y)\) é um espaço produto.

Definição 10. Sejam \((f_n : n \in \mathbb{N})\) uma sequência de funções em \(\mathcal{F}(X,Y)\) e \(f \in \mathcal{F}(X,Y)\). Dizemos que \((f_n)\) converge pontualmente para \(f\) quando, para todo \(x \in X\), a sequência \((f_n(x))\) converge para \(f(x)\) em \(Y\).

Teorema 11. Sejam \((f_n : n \in \mathbb{N})\) uma sequência de funções em \(\mathcal{F}(X,Y)\) e \(f \in \mathcal{F}(X,Y)\). Então, \((f_n)\) converge pontualmente para \(f\) se, e somente se, \((f_n)\) converge para \(f\) em \(\mathcal{F}(X,Y)\).

Prova.

\((\Rightarrow)\) Suponha que \((f_n)\) converge pontualmente para \(f\) e considere \(S \in \mathcal{S}\) tal que \(f \in S\). Sabemos que existem \(x \in X\) e \(V\) aberto em \(Y\) tal que \(S = \pi_x^{-1}(V)\).

Como \(f \in \pi_x^{-1}(V)\), temos que \(f(x) \in V\). Daí, como \((f_n(x))\) converge para \(f(x)\) em \(Y\), sabemos que existe \(n_0 \in \mathbb{N}\) tal que, para todo \(n \geq n_0\), \(f_n(x) \in V\). Assim, dado \(n \geq n_0\), \(f_n \in \pi_x^{-1}(V)\). Logo, \((f_n)\) converge para \(f\) em \(\mathcal{F}(X,Y)\).

\((\Leftarrow)\) Suponha que \((f_n)\) converge para \(f\) em \(\mathcal{F}(X,Y)\) e considere \(x \in X\) e \(V\) aberto em \(Y\) tal que \(f(x) \in V\). Sabemos que \(f \in \pi_x^{-1}(V)\). Daí, como \(\pi_x^{-1}(V)\) é aberto em \(\mathcal{F}(X,Y)\), existe \(n_0 \in \mathbb{N}\) tal que, para todo \(n \geq n_0\), \(f_n \in \pi_x^{-1}(V)\).

Portanto, dado \(n \geq n_0\), \(f_n(x) \in V\). Logo, \((f_n(x))\) converge para \(f(x)\) em \(Y\), e concluímos que \((f_n)\) converge pontualmente para \(f\). \(\blacksquare\)

Assim, a convergência pontual é, essencialmente, a convergência de funções no espaço produto.

[1] James R. Munkres. Topology, segunda edição.

[2] Leandro F. Aurichi. Topologia Geral.